Trabajos Originales

  • El tamaño de muestra en la comparación de la prevalencia de enfermedades entre dos grupos independientes

Resumen

Una importante cantidad de estudios médicos y epidemiológicos tiene por objeto comparar diferencias entre dos proporciones. A partir de la prueba condicional exacta de Fisher, que se usa para determinar la significación de la diferencia entre dos proporciones, se han obtenido tamaños exactos de muestra sobre la base de la función potencia. En este trabajo se comparan los tamaños de muestra de las aproximaciones del Arco seno y de la Binomial corregida y sin corregir con el obtenido por el método de Fisher. De acuerdo a los resultados observados los autores sugieren el uso del método de la Binomial corregida por ser el que presenta los valores más cercanos a los de Fisher.

Palabras claves: tamaño muestras, estadística, epidemiología.

Abstract

The purpose of many medical and epidemiologic investigations is the comparison of two independent proportions. Starting from the Fisher test, used to assess the significance of differences between two proportions, exact samples sizes based on the power function of this tests has been obtained. The sample sizes provided by the Arc Sine and Binomial uncorrected and corrected approximations are compared with those derived from the Fisher test. Considering the better approximation observed in this work we suggest the use of the Binomial approximation with continuity correction.

Key words: sample sizes, statistics, epidemiology.

Abstract

Una importante cantidad de estudios médicos y epidemiológicos tiene por objeto comparar diferencias entre dos proporciones. A partir de la prueba condicional exacta de Fisher, que se usa para determinar la significación de la diferencia entre dos proporciones, se han obtenido tamaños exactos de muestra sobre la base de la función potencia. En este trabajo se comparan los tamaños de muestra de las aproximaciones del Arco seno y de la Binomial corregida y sin corregir con el obtenido por el método de Fisher. De acuerdo a los resultados observados los autores sugieren el uso del método de la Binomial corregida por ser el que presenta los valores más cercanos a los de Fisher.

Palabras claves: tamaño muestras, estadística, epidemiología.

Abstract

The purpose of many medical and epidemiologic investigations is the comparison of two independent proportions. Starting from the Fisher test, used to assess the significance of differences between two proportions, exact samples sizes based on the power function of this tests has been obtained. The sample sizes provided by the Arc Sine and Binomial uncorrected and corrected approximations are compared with those derived from the Fisher test. Considering the better approximation observed in this work we suggest the use of the Binomial approximation with continuity correction.

Key words: sample sizes, statistics, epidemiology.

Introducción

En la realización de un trabajo científico uno de los aspectos contemplados en la etapa de planificación del estudio es el tamaño de la muestra. Muchas investigaciones en patología, clínica, epidemiología, etc., tienen por objeto determinar si existen diferencias significativas entre las proporciones o porcentajes de dos grupos. Por ejemplo, el porcentaje de individuos recuperados de una enfermedad en un grupo al cual se le aplicó un tratamiento bajo ensayo en relación al porcentaje que se recuperó al utilizar el tratamiento habitual o estándar.

Otro ejemplo, en el campo epidemiológico, consiste en comparar las tasas de morbilidad (que son una forma de proporción) entre grupos de individuos analizados bajo distintas variables epidemiológicas.

En las ciencias veterinarias las investigaciones no sólo se han centrado en determinar valores puntuales, tales como medias o proporciones de diferentes variables, relevantes desde el punto de vista sanitario o productivo. Un aspecto importante, que ha adquirido gran trascendencia en los últimos años con la aplicación de planes destinados a controlar y erradicar enfermedades de alta frecuencia y/o valor económico, es aquél relativo a la prevalencia de enfermedades. La evaluación de la efectividad de las medidas adoptadas se puede efectuar a través de la comparación de las tasas de morbilidad o mortalidad evaluándolas antes y después de aplicados los programas (Camel, 1966).

La prueba estadística que con mayor precisión compara dos proporciones, dado que entrega la probabilidad exacta de un error de tipo 1 (rechazar una hipótesis nula cuando es verdadera), es aquélla creada por Fisher (1935). De esta prueba se obtuvo su potencia (Mainland, 1963), derivándose la metodología necesaria para la obtención del tamaño de muestra adecuado en la comparación de dos proporciones.

La prueba de Fisher es particularmente útil cuando se comparan muestras de pequeño tamaño. Sin embargo, su cálculo se dificulta cuando las muestras son grandes, lo que ha determinado que diferentes autores (Sillito, 1949; Gail y Gart, 1973; Fleiss, 1973 y 1981; Haseman, 1978), entre otros, hayan buscado otros métodos para la determinación del tamaño de muestra.

El propósito de este trabajo es seleccionar aquel método de determinación de tamaño de muestra, para la comparación de la diferencia entre dos proporciones independientes, que muestre ser el más cercano al tamaño obtenido según la prueba de Fisher.

Métodos

 El tamaño de muestra empleado en la comparación de prevalencia de enfermedades se calcula considerando que los dos grupos bajo 'investigación son independientes, siendo las dos respuestas posibles la presencia o la ausencia de enfermedad. Se está así considerando una variable binomial p que tomará un valor P1 en un grupo y P2 en el otro grupo, de modo que la hipótesis nula de interés es de la forma Ho : P1 = P2. En pruebas de una cola la hipótesis alternativa, H1, es P1 > P2 o P2 > P1, y en pruebas de dos colas, H1 : P1 ≠  P2

Por otra parte, además del error de tipo 1, mencionado en la introducción, debe controlarse el error de tipo II que consiste en no rechazar que las proporciones difieren cuando en efecto ello es así. La probabilidad de detectar esta diferencia se conoce como potencia de la prueba y se designa con 1–β .

Los tres métodos más usados para determinar el tamaño de muestra son la prueba condicional exacta de Fisher, la aproximación de la distribución Binomial a la Normal y la aproximación asintótica del Arco Seno a la distribución Normal. Se hará una breve descripción de los tres métodos, los que aparecen explicados in extenso en Morales (1988).

Determinación del tamaño de muestra basado en la prueba condicional exacta de Fisher

En 1935, Fisher propuso una prueba para comparar dos grupos cuyos datos pueden presentarse en una tabla de frecuencias de 2 x 2:

  Grupo Atributo
Presente Ausente -
1 a A - a A
2 b B - b B
Total a+b = r N - r N

donde:

A = número de individuos del grupo 1; B = número de individuos del grupo 2; a = número de individuos del grupo 1 que posee el atributo; b = número de individuos del grupo 2 que posee el atributo.

Se define además:

P1 = Prob (atributo esté presente/pertenece al grupo 1); p2 = Prob (atributo esté presente/pertenece al grupo 2); q1 = 1 – p1; q2 = 1 – p2.

Fisher afirma que la probabilidad de obtener exactamente b individuos en la casilla correspondiente es:

donde:

(p2 q1/q2 p1) es designado como v por Fisher.

Considerando b, r y variables, esta expresión constituye la distribución conjunta de estos tres términos:

 

 

Si se desea la densidad condicional de b, dados  r  y  v,  f (b/r, v), se tendrá:

 

Denotando por i los valores variables de b, se tiene:

 

que constituye la fórmula dada por Fisher en 1935.

Mainland (1963), publica cálculos de potencia basados en regiones críticas definidas por la prueba condicional exacta de Fisher. Siguiendo a esos autores, Gail y Gart (1973) calcularon la potencia de la prueba condicional exacta para varias alternativas. Su punto de partida es la definición de la región crítica condicional, W (α,r) como:

Al considerar todos los r posibles, puede construirse la región crítica incondicional definida por Fisher–Irwin:
 

siendo cada evento en W (α) de la forma (a, b). De (1) se deduce la densidad marginal de r

a partir de la cual se puede calcular la potencia incondicional basada en W (α) y que considera la independencia de los grupos 1 y 2.

Sea γ (P1, P2) dicha potencia. Entonces:

donde el conjunto W (α) aparece en las tablas de Finney (1948) adaptadas por Siegel (1956).

Esta fórmula se empleó para construir tablas con tamaños de nuestra para n = A = B (Morales, 1988). Esta fórmula es útil en aquellos casos en que el n es pequeño, considerando que el procedimiento de cálculo de la muestra, en la práctica, consiste en proponer valores de n = A = B y α en la expresión (2), con lo cual se van obteniendo valores de potencia hasta satisfacer el nivel requerido.

Aproximación de la Binomial a la Normal

El desarrollo algebraico de este método, para la determinación de tamaño de muestra, es explicado por Fleiss (1973). Como notación ese autor designa como p1 y p2 las proporciones poblacionales que se van a comparar usando muestras de tamaño n1 = n2 = n.

Para probar la diferencia entre p1 y p2, las proporciones encontradas en las muestras, se usará una transformación a la distribución Normal, Z, ignorando transitoriamente la corrección de continuidad. Esta primera aproximación de n se designará por n´.

Considerando el error de tipo 1 y la potencia (1– β ) de rechazar (p2–p1) = 0, Fleiss llega a la expresión:

Donde:Zα /2 es el valor que separa la proporción α/2 en el extremo superior de la curva normal estándar siempre que H1:P1 ≠ P2.

Z1 - β es el percentil que corta la proporción 1– β en el extremo superior de la curva normal estándar y n' es el tamaño de cada una de las muestras cuando no se usa la corrección de continuidad.

Kramer y Greenhouse (1959) citados por Fleiss (1973), derivaron la fórmula de tamaño de muestra incorporando 2 veces la corrección de continuidad y la designaron como n'.

Usando n' Fleiss (1973) construyó una tabla que permite obtener tamaños de muestra considerando diferentes valores de P1, P2, α y β .

Casagrande et al. (1978), al comparar el método exacto de Fisher con el de Kramer y Greenhouse 1959), observaron que este último entrega tamaños de muestra más altos que el método exacto, lo que los llevó a reestudiar la derivación de Kramer y Greenhouse, sugiriendo la siguiente fórmula, en la cual se incorporó sólo una vez al corrección de continuidad:

Tanto n, como n' y n' se deben aproximar al entero superior.

Estos autores prueban la aproximación para un amplio rango de valores de p1 y p2 y concluyen que su fórmula es una excelente aproximación a la fórmula exacta; y por lo tanto evita la necesidad de obtener los valores exactos cuya determinación requiere de una gran cantidad de cálculos.

En pruebas de una cola las expresiones utilizadas son las mismas reemplazando Z α/2 por Zα .

Los resultados de la fórmula 4 en pruebas de una y dos colas se presentan en los cuadros 1 al 6.

Aproximación asintótica del Arco Seno

Según Sillito (1949), si P es la probabilidad que un individuo posea una característica dada y p = b/n es la proporción o frecuencia relativa del número de individuos (b) que posee esa característica en una muestra aleatoria de tamaño n, entonces x = arcsen (p)1/2, donde el ángulo está medido en radianes, se distribuye en forma asintóticamente normal con una media = Arco Seno (p)1/2 y una desviación estándar = 1/(2n1/2). De este modo, el problema de comparar dos valores observados sería el equivalente al de comparar variables provenientes de poblaciones normales con desviaciones estándar conocidas.

Si se tienen dos muestras independientes con frecuencias observadas p1 y p2 basadas en muestras de tamaños m y n, entonces la diferencia entre sus transformaciones X1 y X2 se distribuye aproximadamente Normal con un error estándar:

Así la variable aleatoria (X2–X1)/S tendrá una media

y desviación estándar = 1. Si la hipótesis nula es cierta P2 -P1 y μ = 0.

Definiendo Zα como el punto que deja una probabilidad α a la derecha de la distribución Normal estándar y Zβ = μ - Zα/2 y reemplazando μ en (5) y reordenando, se tiene para iguales tamaños en ambos grupos (n = m):

Se confeccionaron programas en lenguaje FORTRAN para obtener los tamaños de muestra en cada uno de los métodos analizados.

Resultado y discusión

Comparaciones en pruebas de una cola

En los cuadros 7,   8,  Y  9 puede observarse que la aproximación del Arco seno entrega siempre tamaños de muestra inferiores a los del método de Fisher. Fluctuando desde un 33% para α y potencia 50% en las diferencias P1 =0,1 y P2=0,95 hasta un 90% en la comparación de P1 =0,4 con P2=0,7 α y potencia 80%. Se aprecia que en la medida que el a se hace más pequeño, desde 0,10 hasta 0,01 y pasando por 0,05, las aproximaciones al método de Fisher son mejores.

El método de la Binomial muestra la misma propiedad, observándose que la aproximación también es mejor cuando el a es más pequeño y la potencia de la prueba es mayor. En forma semejante al Arco seno el tamaño de muestra no alcanza el nivel mínimo fluctuando desde 50% hasta 97% del tamaño requerido.

El método de la Binomial corregida logra las mejores aproximaciones cuando el valor de alfa se hace más pequeño. En un alto número de comparaciones el tamaño de muestra es igual al de Fisher y en algunas ocasiones supera el tamaño requerido. Los valores más alejados los muestra en el nivel de potencia más bajo 50%.

Comparaciones en pruebas de dos colas

Se observa en los cuadros 1011 y 12 que la aproximación del Arco seno para valores grandes de alfa (10%) fluctúa entre 40% y 92% del tamaño mínimo. Mejora con valores de alfa más pequeños, 5% y 1%, superando en este último caso el tamaño requerido hasta en un 24%.

La aproximación Binomial presenta características semejantes al anterior acercándose más a los tamaños definidos por el método de Fisher.

Nuevamente la aproximación Binomial corregida se muestra como la mejor de las tres al alcanzar en el límite inferior un 83% del valor necesario y superar el valor mínimo en algunas comparaciones. Presenta en un alto porcentaje de las comparaciones un valor de 100% lo que significa un valor igual al exacto.

En consecuencia, sobre la base de los resultados obtenidos, los autores se permiten sugerir el uso del método de la Binomial corregida, ya sea calculando directamente el tamaño de la muestra con la expresión (4), o utilizando las tablas que se entregan para tres diferentes valores de alfa y tres valores de potencia.

Aplicación de la metodología

Finalmente, es interesante ver cómo se aplica esta metodología a ensayos de prevalencia de enfermedades. Se verán dos casos:

a) Se desea comparar la prevalencia de una enfermedad en dos grupos de animales. Un grupo va a estar constituido por aquéllos a los cuales no se les aplicará ningún tipo de medida preventiva y el otro estará formado por un grupo distinto de animales los que serán sometidos a una nueva vacuna. Lo anterior define la independencia de los grupos a comparar. De acuerdo a antecedentes históricos la presentación de la enfermedad se produce en el 30% de los animales. Se espera que al aplicar la vacuna a probar la prevalencia se reduzca a un 10%, lo que señala que se trata de una prueba de una cola, es decir se supone a priori que una de las prevalencias será menor que la otra. Se define un alfa de 5% y una probabilidad de detectar la diferencia de un 90% (potencia 0,90). De acuerdo al cuadro 2 cada uno de los grupos deberá estar constituido por 76 animales.

b) En un segundo caso interesa comparar las tasas de mortalidad, de dos formas de anestesia en una intervención quirúrgica de alto riesgo. Dado que se desconoce cuál de los dos anestésicos provoca mayor o menor mortalidad se trata de una prueba de hipótesis de dos colas. Para uno de los anestésicos se presume una mortalidad de un 10% y para el otro de 5%. Si esta diferencia fuese real y se quisiera detectarla con una probabilidad de 80% (1– β =0,80) y una alfa de 5%, de acuerdo al cuadro 5, deben utilizarse 474 individuos de cada uno de los anestésicos.

Es interesante observar que en el primer caso, donde la diferencia porcentual es de un 20%, el tamaño de muestra requerido por grupo es relativamente bajo (76 animales). En cambio cuando la diferencia es pequeña, como en el segundo caso, 5%, el tamaño de muestra resulta bastante mayor, 474 individuos. Esto revela la necesidad que el investigador defina cuidadosamente, antes de hacer su ensayo, el tamaño de la diferencia que se desea encontrar o detectar.

Referencias

CAMEL, F. Estadísticas médicas y de Salud Pública. Mérida, Universidad de Los Andes. 1966.

CASAGRANDE, J.T., M.C. PIKE, P.G. SMITH. An improved approximate formula for calculating samples sizes for comparing two binomial distribution. Biometrics 34: 483–486, 1978.

FINNEY, D.J. The Fisher–Yates test of significance in 2 x 2 contingency fables. Biometrika 35: 145–156, 1948.

FISHER, R.A. The logic of inductive inference. J. Roy. Statist. Soc. A 98, 39–54, 1935.

FLEISS, J.L. Statistical methods for rates and proportions. New York, John Wiley and Sons., 1973.

FLEISS, J. L. Statistical methods for rates and proportions. 2nd ed. New York, John Wiley and Sons., 1981.

FLEISS, J. L., A. TYTUM, H. K. URY. A simple approximation for calculating sample sizes for comparing independent proportions. Biometrics 36: 343–346, 1980.

GAIL, M., J.J. GART. The determination of sample sizes for use with the exact conditional test in 2 x 2 comparative trials. Biometrics 29: 441–448, 1973.

HASEMAN, J. K. Exact sample sizes for use with the Fisher–Irwin test for 2 x 2 tables. Biometrics 34: 106–109, 1978. MAINLAND, D. Elementary medical 'statistics. Philadelphia, Saunders, 1963.

MORALES, M.A. Comparación de métodos en la determinación de tamaño de muestra para prueba de diferencias entre dos proporciones. Tesis Magister, Santiago, Facultad de Medicina. Universidad de Chile, 1988.

SIEGEL, S. Non parametric statistics for the hehabioral sciences. New York, McGra,v–Hill, 1956.

SILLITO, G.P. Note on approximations to the power function of the 2 x 2 comparative trial. Biometrika 36: 347–352. 1949. Recibido el 2 de agosto de 1989.

 Recibido el 2 de agosto de 1989.

Cuadros 1 y 2

CUADRO 1 TAMAÑO DE MUESTRA EN PRUEBAS DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES SEGÚN EL MÉTODO DE LA BINOMIAL CORREGIDA. UNA COLA, ALFA = 0,01 Y TRES NIVELES DE POTENCIA

P1    P2

0,95

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,05

0,90

761

1

- - - - - - - - -

599

  - - - - - - - - -

340

- - - - - - - - - -

0,80

137

350

-

-

-

-

-

-

-

-

-

109

274

- - - - - - - - -

65

157

-   - - - - - - -

0,70

65

111

506

-

-

-

-

-

-

-

-

52

88

395

-

-

-

-

-

-

-

-

32

52

223

-

-

-

-

-

-

-

-

0,60

40

58

114

661

-

-

-

-

-

-

-

32

46

114

476

-

-

-

-

-

-

-

20

28

66

266

-

-

-

-

-

-

-

0,50

27

36

70

164

663

-

-

-

-

-

-

22

29

55

129

516

-

-

-

-

-

-

14

18

33

74

288

-

-

-

-

-

-

0,40

19

25

41

75

170

633

-

-

-

-

-

16

20

33

60

134

516

-

-

-

-

-

11

13

20

36

77

288

-

-

-

-

-

0,30

14

18

27

43

75

164

611

-

-

-

-

12

15

22

34

60

129

476

-

-

-

-

8

10

14

21

36

74

266

-

-

-

-

0,20

11

13

18

27

41

70

144

506

-

-

-

9

11

15

22

33

55

114

395

-

-

-

7

8

10

14

20

33

66

223

-

-

-

0,10

8

9

13

18

25

36

58

111

350

-

-

7

8

11

15

20

29

46

88

274

-

-

5

6

8

10

13

18

28

52

157

-

-

0,05

7

8

11

14

19

27

40

65

137

761

-

6

7

9

12

16

22

32

52

109

599

-

5

5

7

8

11

14

20

32

65

340

 -

1 En cada casillero: Línea superior: Potencia 0,90 Línea central: Potencia 0,80 Línea inferior: Potencia 0,50

CUADRO 2 TAMAÑO DE MUESTRA EN PRUEBAS DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES SEGUN EL MÉTODO DE LA BINOMIAL CORREGIDA. UNA COLA, ALFA = 0,05 Y TRES NIVELES DE POTENCIA

P1      P2

0,95

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,05

0,90

514

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

382

                   

188

                   

0,80

94

236

 

 

 

 

 

 

 

 

 

72

176

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

88

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,70

45

76

340

 

 

 

 

 

 

 

 

35

58

251

 

 

 

 

 

 

 

 

20

30

121

 

 

 

 

 

 

 

 

0,60

28

40

98

409

 

 

 

 

 

 

 

22

31

73

301

 

 

 

 

 

 

 

13

17

37

143

 

 

 

 

 

 

 

0,50

19

25

47

111

443

 

 

 

 

 

 

15

19

36

83

326

 

 

 

 

 

 

9

11

19

42

154

 

 

 

 

 

 

0,40

14

17

28

51

115

443

 

 

 

 

 

11

13

22

39

86

326

         

7

8

12

21

43

154

         

0,30

10

12

18

29

51

111

409

 

 

 

 

9

10

14

23

39

83

301

 

 

 

 

6

6

8

13

21

42

143

 

 

 

 

0,20

8

9

13

18

28

47

98

340

 

 

 

7

7

10

14

22

36

73

251

 

 

 

5

5

6

8

12

19

37

121

 

 

 

0,10

6

6

9

12

17

25

40

76

236

 

 

5

5

7

10

13

19

31

58

176

 

 

4

4

5

6

8

11

17

30

88

 

 

0,05

5

6

8

10

14

19

28

45

94

514

 

4

5

7

9

11

15

22

35

72

382

 

4

4

5

6

7

9

13

20

38

188

 
1 En cada casillero: Línea superior: Potencia 0,90 Línea central: Potencia 0,80 Línea inferior: Potencia 0,50

Cuadros 3 y 4

CUADRO 3 TAMAÑO DE MUESTRA EN PRUEBAS DE DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES SEGUN EL MÉTODO DE LA BINOMIAL CORREGIDA. UNA COLA, ALFA = 0,10 Y TRES NIVELES DE POTENCIA

P1    P2

0,95

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,05

0,90

401

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

287

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

127

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,80

74

185

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55

133

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,70

36

60

264

 

 

 

 

 

 

 

 

27

44

187

 

 

 

 

 

 

 

 

14

21

80

 

 

 

 

 

 

 

 

0,60

22

32

76

316

 

 

 

 

 

 

 

17

24

55

223

 

 

 

 

 

 

 

9

12

26

93

 

 

 

 

 

 

 

0,50

15

20

37

86

342

 

 

 

 

 

 

11

15

28

62

241

 

 

 

 

 

 

6

8

14

28

100

 

 

 

 

 

 

0,40

11

13

22

40

90

324

 

 

 

 

 

8

10

17

30

65

241

 

 

 

 

 

5

6

9

14

29

100

 

 

 

 

 

0,30

8

l0

15

23

40

86

316

 

 

 

 

6

8

11

17

30

62

223

 

 

 

 

4

4

6

9

14

28

93

 

 

 

 

0,20

6

7

10

15

22

37

76

264

 

 

 

5

6

8

11

17

28

55

187

 

 

 

3

4

5

6

9

14

26

80

 

 

 

0,10

5

5

7

10

13

20

32

60

185

 

 

4

4

5

8

10

15

24

44

133

 

 

3

3

4

4

6

8

12

21

60

 

 

0,05

4

5

6

8

11

15

22

36

74

410

 

3

4

5

6

8

11

17

27

55

287

 

2

3

3

4

5

6

9

14

27

127

 

1 En cada casillero: Línea superior: Potencia 0,90 Línea superior: Potencia 0,80 Línea inferior: Potencia 0,50

CUADRO 4 TAMAÑO DE MUESTRA EN PRUEBAS DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES SEGÚN EL MÉTODO DE LA BINOMIAL CORREGIDA. DOS COLAS, ALFA = 0,01 Y TRES NIVELES DE POTENCIA

P1   P2

0,95

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,05

0,90

863

1

-

-

-

-

-

-

-

-

-

686

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

407

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,80

155

397

-

-

-

-

-

-

-

-

-

125

316

-

-

-

-

-

-

-

-

-

77

189

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,70

74

126

576

-

-

-

-

-

-

-

-

60

101

457

-

-

-

-

-

-

-

-

38

62

269

-

-

-

-

-

-

-

-

0,60

45

66

163

696

-

-

-

-

-

-

-

37

53

131

551

-

-

-

-

-

-

-

24

34

79

322

-

-

-

-

-

-

-

0,50

31

41

79

186

755

-

-

-

-

-

-

26

34

64

148

598

-

-

-

-

-

-

17

22

40

89

349

-

-

-

-

-

-

0,40

22

28

47

86

193

755

-

-

-

-

-

19

23

38

69

154

598

-

-

-

-

-

13

15

24

43

92

349

-

-

-

-

-

0,30

17

20

30

48

86

186

696

-

-

-

-

14

17

25

39

69

148

551

-

-

-

-

10

11

16

25

43

89

322

-

-

-

-

0,20

13

15

21

30

47

79

163

576

-

-

-

11

12

17

25

38

64

131

457

-

-

-

8

9

12

16

24

40

79

269

-

-

-

0,10

9

11

15

20

28

41

66

126

397

-

-

8

9

12

17

23

34

53

101

316

-

-

7

7

9

11

15

22

34

62

189

-

-

0,05

8

9

13

17

22

31

45

74

155

863

-

7

8

11

14

19

26

37

60

125

686

-

6

7

8

10

13

17

24

38

77

407

 -

1 En cada casillero: Línea superior: Potencia 0,90 Línea superior: Potencia 0,80 Línea inferior: Potencia 0,50

Cuadros 5 y 6

CUADRO 5 TAMAÑO DE MUESTRA EN PRUEBAS DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES SEGÚN EL MÉTODO DE LA BINOMIAL CORREGIDA. DOS COLAS, ALFA = 0,05 Y TRES NIVELES DE POTENCIA

P1   P2

0,95

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,20

0,10

0,05

0,90

621

1

--

-

-

-

-

-

-

-

-

474

--

-

-

-

-

-

-

-

-

-

252

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,80

113

285

-

-

-

-

-

-

-

-

-

88

218

-

-

-

-

-

-

-

-

-

50

117

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,70

54

91

411

-

-

-

-

-

-

-

-

43

71

312

-

-

-

-

-

-

-

-

25

40

163

-

-

-

-

-

-

-

-

0,60

33

48

118

495

-

-

-

-

-

-

-

27

37

90

375

-

-

-

-

-

-

-

16

22

49

194

-

-

-

-

-

-

-

0,50

23

30

57

133

538

-

-

-

-

-

-

18

24

44

102

407

-

-

-

-

-

-

12

14

25

55

209

-

-

-

-

-

-

0,40

16

20

34

62

139

538

-

-

-

-

-

14

16

27

48

106

407

-

-

-

-

-

9

10

16

27

57

209

-

-

-

-

-

0,30

12

14

22

35

62

133

495

-

-

-

-

10

12

18

28

48

102

375

-

-

-

-

7

8

11

16

27

55

194

-

-

-

-

0,20

9

10

15

22

34

57

118

411

-

-

-

8

9

12

18

27

44

90

312

-

-

-

6

6

8

11

16

25

49

163

-

-

-

0,10

7

8

10

14

20

30

48

91

285

-

-

6

7

9

12

16

24

37

71

218

-

-

5

5

6

8

10

14

22

40

117

-

-

0,05

6

7

9

12

16

23

33

54

113

621

-

5

6

8

10

14

18

27

43

88

474

-

4

5

6

7

9

12

16

25

50

252

 -

     1 En cada casillero: Línea superior: Potencia 0,90 Línea superior: Potencia 0,80 Línea inferior: Potencia 0,50

CUADRO 6 TAMAÑO DE MUESTRA EN PRUEBAS DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES SEGÚN EL MÉTODO DE LA BINOMIAL CORREGIDA. DOS COLAS, ALFA = 0,10 Y TRES NIVELES DE POTENCIA

P1   P2

0,95

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,20

0,10

0,05

0,9

514

1

 -

 -

 -

 -

382

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

188

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0,8

94

236

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

72

176

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

38

88

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0,7

45

76

340

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

35

58

251

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

20

30

121

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0,6

28

40

98

409

 -

 -

 -

 -

 -

 -

22

31

73

301

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

13

17

37

143

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0,5

19

25

47

111

443

 -

 -

 -

 -

 -

15

19

36

83

326

 -

 -

 -

 -

 -

 -

9

11

19

42

154

 -

 -

 -

 -

0,4

14

17

28

51

115

443

 -

 -

 -

 -

 -

11

13

22

39

86

326

 -

 -

 -

 -

7

8

12

21

43

154

 -

 -

 -

0,3

10

12

18

29

51

111

409

 -

 -

 -

 -

9

10

14

23

39

83

301

 -

 -

 -

6

6

8

13

21

42

143

 -

 -

 -

 -

0,2

8

9

13

18

28

47

98

340

 -

 -

 -

7

7

10

14

22

36

73

251

 -

 -

 -

5

5

6

8

12

19

37

121

 -

 -

 -

0,1

6

6

9

12

17

25

40

76

236

 -

5

5

7

10

13

19

31

58

176

 -

 -

4

4

5

6

8

11

17

30

88

 -

0,05

5

6

8

10

14

19

28

45

94

514

4

5

7

9

11

15

22

35

72

382

4

4

5

6

7

9

13

20

38

188

1 En cada casillero: Línea superior: Potencia 0,90 Línea central: Potencia 0,80 Línea inferior: Potencia 0,50

Cuadro 7

CUADRO 7 COMPARACIONES (EN PORCENTAJES) DE LAS TRES APROXIMACIONES CON EL MÉTODO EXACTO EN PRUEBAS DE UNA COLA PARA DIFERENTES POTENCIAS (ALFA = 0,01) volver  

P1   P2

 -

0,95

 -

 -

0.90

 -

 -

0.80

 -

0.70

 -

 -

0.60

 -

 -

0.50

 -

 -

0.40

 -

 -

0.30

 -

0.20

P1   P2

 -

0,95

 -

 -

0.90

 -

 -

0.80

 -

 -

0.70

 -

 -

0.60

 -

 -

0.50

 -

 -

0.40

 -

 -

 -

 -

0.80

79

 -

1

-

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

-

 -

 -

 -

 -

 -

 -

87

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

107

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0.70

69

84

85

79

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

81

94

97

85

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

100

106

107

100

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0.60

72

77

84

78

85

85

85

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

89

90

95

85

89

88

86

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

111

103

108

104

100

98

100

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0.50

64

85

81

72

83

84

79

88

85

89

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

79

95

92

83

90

86

82

89

85

94

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

100

110

104

100

100

97

97

98

93

101

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0.40

70

75

83

69

80

84

76

85

84

83

90

 -

86

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

80

88

94

77

85

88

81

85

84

83

90

 -

87

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

100

100

106

100

100

100

95

97

93

103

100

 -

99

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0.30

56

75

86

70

80

83

77

86

83

77

86

89

83

90

 -

89

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

78

83

86

80

80

83

85

86

83

77

86

89

83

90

 -

94

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

89

100

100

100

100

100

108

100

93

95

97

98

103

100

 -

101

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0.20

66

78

75

63

75

85

78

81

89

77

86

83

76

85

84

79

88

85

85

 -

 -

 -

 -

 -

 -

83

89

75

75

75

85

88

81

89

85

86

83

81

85

84

82

89

85

86

 -

 -

 -

 -

 -

 -

117

100

92

100

92

100

111

94

100

108

100

93

95

97

93

97

98

93

100

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0.10

50

63

78

66

67

88

63

75

85

70

80

83

69

80

84

72

83

84

78

85

85

79

 -

 -

 -

66

75

78

83

78

88

75

75

85

80

83

83

77

85

88

83

90

86

85

89

88

85

 -

 -

 -

83

88

88

100

89

100

100

92

100

100

100

100

100

100

100

100

100

97

104

100

98

100

 -

 -

 -

0,05

60

83

75

50

63

78

66

78

75

56

75

86

70

75

83

64

85

81

72

77

84

69

84

85

79

80

83

85

66

75

78

83

89

75

78

83

86

80

88

94

79

95

92

89

90

95

81

94

97

87

100

100

88

83

88

88

117

100

92

89

100

100

100

100

106

100

110

104

111

103

108

100

106

107

107

1 En cada casillero: Línea superior: Arcoseno Línea central: Binomial sin corregir Línea inferior: Binomial corregida Primera columna: Potencia 0,50 Segunda columna: Potencia 0,80 Tercera columna: Potencia 0.90

Cuadro 8

CUADRO 8 COMPARACIONES (EN PORCENTAJES) DE LAS TRES APROXIMACIONES CON EL MÉTODO EXACTO EN PRUEBAS DE UNA COLA PARA DIFERENTES POTENCIAS (ALFA = 0,05) volver

P1  P2

 -

0,95

 -

0.90

0.80

0.70

0.60

 -

 -

0.50

 -

0.40

0.30

 -

0.20

0.80

62

82

1

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

-

 -

 -

 -

 -

 -

 -

69

90

 -

 -

-

 -

 -

 

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

97

107

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0.70

58

74

83

68

84

87

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

68

82

90

71

88

89

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

105

103

107

97

104

101

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0.60

5'8

75

84

65

80

85

76

88

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

67.

85

92

71

83

87

78

89

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

108

110

112

100

103

103

100

100

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0.50

56

71

78

64

79

80

74

83

88

77

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

67

86

83

73

84

84

74

86

88

77

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

-

 -

100

107

106

100

100

100

100

100

98

98

-

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

-

0.40

57

73

77

56

77

82

67

78

83

68

83

87

79

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

57

73

85

56

85

82

75

78

80

68

83

87

81

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

100

100

108

89

100

100

100

96

93

95

95

96

100

 -

 -

 -

 -

 -

 -

-

 -

0.30

50

67

80

67

70

83

56

80

89

75

83

84

68

83

87

77

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

67

67

80

67

80

83

67

80

89

75

83

81

68

83

87

77

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

100

89

100

100

100

100

89

93

100

108

100

94

95

95

96

98

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0.20

40

67

75

60

75

70

67

60

92

56

80

89

67

78

83

74

83

88

76

88

 -

 -

 -

 -

60

83

75

60

75

70

67

80

92

67

80

89

75

78

80

74

86

88

78

89

 -

 -

 -

 -

100

117

100

100

88

90

100

100

108

89

93

100

100

96

93

100

100

98

100

100

 -

 -

0.10

67

60

83

66

67

63

60

75

70

67

70

83

56

77

82

64

79

80

65

80

85

68

84

87

 -

67

80

67

66

67

63

60

75

70

67

80

83

56

85

82

73

84

84

71

83

87

71

88

89

 -

133

100

100

133

83

100

100

88

90

100

100

100

89

100

100

100

100

100

100

103

03

97

104

101

 -

0,05

67

60

80

67

60

83

40

67

75

50

67

80

57

73

77

56

71

78

58

75

84

58

74

83

62

67

60

80

67

80

67

60

83

75

67

67

80

57

73

85

67

86

83

67

85

92

68

82

90

69

133

80

100

133

100

100

100

117

100

100

89

100

100

100

108

100

107

106

108

110

112

105

103

107

67

1 En cada casillero: Línea superior: Arcoseno Línea central: Binomial sin corregir Línea inferior: Binomial corregida Primera columna: Potencial 0,50 Segunda columna: Potencial 0,80 Tercera columna: Potencial 0,90

Cuadro 9

CUADRO 9 COMPARACIONES (EN PORCENTAJES) DE LAS TRES APROXIMACIONES CON EL MÉTODO EXACTO EN PRUEBAS DE UNA COLA PARA DIFERENTES POTENCIAS (ALFA = 0,10) volver

P1  P2

0,95

 -

-

0,90

-

0,80

-

0,70

0,60

 -

0,50

 -

 -

0,40

 -

 -

0,30

 -

 -

0,20

0,80

58

74

811

71

 -

 -

 -

 -

 -

 -

-

-

 -

 -

 -

 -

62

80

88

72

 -

 -

 -

 -

-

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

104

102

103

103

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

-

 -

 -

 -

 -

 -

0,70

47

72

82

62

77

86

77

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

53

80

88

67

82

88

78

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

93

108

109

100

100

103

101

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0,60

50

69

76

58

78

78

65

82

87

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

63

75

81

58

78

81

69

82

87

 -

 -

 -

 -

 -

 -

-

 -

113

106

105

100

104

100

100

96

97

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0,50

50

67

73

50

69

80

53

79

82

71

89

-

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

67

67

80

63

69

80

60

79

82

71

89

 -

 -

 -

 -

-

 -

 -

 -

 -

 -

 -

100

92

100

100

94

100

93

100

95

100

102

-

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

-

 -

0,40

40

75

73

50

73

73

56

76

79

60

83

88

70

 -

 -

 -

 -

 -

60

75

73

50

73

73

56

76

79

67

83

88

75

 -

 -

 -

 -

 -

 -

-

 -

 -

100

100

100

100

91

87

100

100

92

93

103

100

104

 -

 -

 -

0,30

50

57

75

40

75

80

43

82

75

56

82

80

60

83

88

71

89

 -

 -

 -

 -

 -

 -

50

71

75

60

75

80

57

73

75

67

82

76

67

83

88

71

89

 -

 -

 -

 -

 -

 -

100

86

100

80

100

100

86

100

94

100

100

92

93

103

100

100

102

-

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0,20

50

60

71

50

57

75

50

75

80

43

82

75

56

76

79

53

79

82

65

82

87

77

 -

 -

 -

50

60

57

50

57

63

75

75

80

57

73

75

56

76

79

60

79

82

69

82

87

78

 -

 -

 -

75

100

86

100

86

88

125

100

100

86

100

94

100

100

92

93

100

95

100

96

97

101

 -

 -

 -

 -

 -

0,10

33

75

80

33

75

67

50

57

75

40

75

80

50

73

73

50

69

80

58

78

78

62

77

86

71

-

 -

67

75

60

67

75

67

50

57

63

60

75

80

50

73

73

63

69

80

58

78

81

67

82

88

72

 -

100

100

100

100

100

83

100

86

88

80

100

100

100

91

87

100

94

100

100

104

100

100

100

103

103

 -

 -

0,05

33

50

75

33

75

80

50

60

71

50

57

75

40

75

73

50

67

73

50

69

76

47

72

82

58

74

81

67

50

75

67

75

60

50

60

57

50

71

75

60

75

73

67

67

80

63

75

81

53

80

88

62

80

88

67

75

100

100

100

100

75

100

86

100

86

100

100

100

100

100

92

100

113

106

105

93

108

109

104

102

102

1 En cada casillero: Línea superior: Arcoseno Línea central: Binomial sin corregir Línea inferior: Binomial corregida Primera columna: Potencial 0,50 Segunda columna: Potencial 0,80 Tercera columna: Potencial 0,90

 

Cuadro 10

CUADRO 10 COMPARACIONES (EN PORCENTAJES) DE LAS TRES APROXIMACIONES CON EL MÉTODO EXACTO EN PRUEBAS DE DOS COLAS PARA DIFERENTES POTENCIAS (ALFA = 0,01) volver  

P1  P2

-

0,95

 -

 -

0.90

 -

 -

0.80

 -

0.70

 -

 -

0.60

0.50

 -

0.40

 -

 -

0.30

0.20

0.80

82

1

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

90

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

107

 -

-

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0.70

75

82

84

124

 -

 -

-

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

86

93

 -

89

129

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

106

105

 -

102

140

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

-

 -

 -

 -

 -

0.60

73

80

82

79

87

88

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 --

 -

 -

 -

 -

86

91

91

85

92

 -

90

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

-

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

109

106

102

103

102

 -

101

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

 -

0.50

69

83

83

76

85

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